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中国数学史

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中国数学的特色

上古至西汉

九九表算筹筹算《算数书》《周髀算经》《九章算术》

东汉三国

张衡刘洪徐岳赵爽刘徽《海岛算经》勾股容方出入相补刘徽割圆术

西晋五代

icon 张邱建夏候阳何承天调日法祖冲之牟合方盖王孝通李淳风僧一行韩延算经十书《五经算术》

南北宋

icon

沈括李籍贾宪杨辉秦九韶《数书九章》幻圆

西夏金元明清

李冶朱世杰算盘珠算《四元玉鉴‎ 》梅文鼎吴烺焦循李善兰李善兰恒等式《数理精蕴》

中算史家

三上义夫 李俨 钱宝琮 吴文俊 何丙郁 李培始  李迪 白尚恕 沈康身 兰丽蓉

中算史文献

《算数书》

《九章算术》

《海岛算经》

《五经算术》

《夏侯阳算经》

《数书九章》

《孙子算经》-

《四元玉鉴‎》

《数理精蕴》

你知道吗？

刘徽割圆术

刘徽割圆术原理

三国时代数学家刘徽的割圆术是中国古代数学中“一个十分精彩的算法^[1]”。在此之前，圆周率采用“周三径一”的实验数据。东汉科学家张衡采用 $\pi =\frac{736}{232}=3.172$ 和 $\pi=\sqrt10=3.16$ 。刘辉认为 $\pi=\sqrt10$ 过大。^[2]。东汉天文学家王蕃采用 $\pi={142 \over 45}=3.156$ 。这些圆周率都是实验值，都只准确到二位数字。刘徽是中国数学史上最先创造了一个从数学上计算圆周率到任意精确度的迭代程序。他自己通过分割圆为192边形，计算出圆周率在3.141024 与 3.142708之间，取其近似，并以 ${157 \over 50}$ 表示。这个数值准确到三位数字，比前人的圆周率数值都准，但他自己次承认这个数值偏小^[3]。后来刘徽发明一种快捷算法，可以只用96边形得到和1536边形同等的精确度，从而得令他自己满意的 $π = 3.1416$ 。

刘徽割圆术简单而又严谨，富于程序性，可以继续分割下去，求得更精确的圆周率。南北朝时期著名数学家祖冲之用刘徽割圆术计算11次，分割圆为12288边形，得圆周率 $\pi=\tfrac{355}{113}$ （=3.1415929 ），成为此后千年世界上最准确的圆周率。

刘徽在圆周率领域的贡献，不仅在于求得 ${157 \over 50}$ 和 $π = 3.1416$ ，更重要的在于他创造了一世界数学史上最精彩的割圆术：阿基米德割圆术和刘徽割圆术一样用双向迫近，因而同样严谨完备，但远不如刘徽简洁；阿基米德用双归谬法推证圆面积，不如刘徽用极限论先进；托勒密割圆术和阿尔·卡西割圆术只是单向迫近，不如刘徽严谨；赵友欣割圆术和日本关孝和割圆术从正方开割，属于刘徽割圆术的变化，而且也是单向迫近。刘辉割圆术虽然不是世界最早，却是数学史上最严谨完备简洁的割圆术。

一般介绍割圆术的书籍，没有真正用刘徽的方法计算准确到几十位或一二百位的圆周率。人们容易误解刘辉的方法最多算到3.1416。连唐代李淳风也误解刘徽，他认为刘徽的方法不够准确，祖冲之后来居上，采用更好的办法。这是很大的误解，说明李淳风并没有认真的用刘徽割圆术计算一下，因此把刘徽的近似结果当成刘徽公式的欠准确。实际上刘徽圆周率迭代公式，要多准有多准呀。祖冲之用的就是刘徽法计算出3.1415926。当时用筹算，可能要好几天功夫。

利用精密度达2500位的四则运算和开平方软件，可以很容易用刘徽割圆术求出更高次多边形得到更高精密度的圆周率：

迭代1600次，可得 A_{6*2¹⁶⁰⁰} 多边形（2.6677449886 x10⁴⁸²多边形）

$\pi \approx$