Dreiecksfläche

Die Dreiecksfläche gibt den Flächeninhalt eines Dreiecks an. Ihre physikalische Einheit ist der Quadratmeter (m²), auf der sphärischen Flächen auch das Quadratgrad bzw. der Steradiant.

Die exakte Berechnung einer Dreiecksfläche ist eines der ältesten Probleme der Geometrie. Bereits im antiken Ägypten stellte es sich, wenn nach dem Rückgang der Nilüberschwemmung das fruchtbare Ackerland neu zu verteilen war. Dreiecke und deren Flächenberechnung bilden auch heute noch eine wichtige Grundlage der Landvermessung - siehe Triangulierung.

Dreiecksflächenberechnung in der Ebene

Das Prinzip der Flächenberechnung bei rechtwinkligen Dreiecken lässt sich auf die Berechnung am Rechteck zurückführen. Seien $a$ und $b$ die Seiten, die den rechten Winkel einschließen, so ist

$A_D = A_R / 2 = a \cdot b / 2$

wobei $A D$ die Dreiecksfläche und $A R$ die Rechtecksfläche ist.

Die Höhe steht immer senkrecht auf ihrer zugehörigen Grundseite, somit kann man jedes allgemeine Dreieck aus zwei rechtwinkligen Dreiecken zusammensetzen. Für die Fläche gilt also:

$A_D=c_1 \cdot h_c/2+c_2 \cdot h_c/2=h_c/2\cdot(c_1+c_2)=h_c/2\cdot c$

Kennt man von einem Dreieck zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel, so ist mit Hilfe der Sinus-Beziehung $h_c=b\cdot\sin\alpha$ der Flächeninhalt gleich:

$A_D=h_c/2\cdot c=c/2\cdot b\cdot\sin\alpha$

Sind die Seitenlängen a, b und c des Dreiecks gegeben, so lässt sich die Heronsche Formel anwenden:

$A_D = \sqrt{s (s-a) (s-b) (s-c)}$ Dabei steht s für den halben Umfang des Dreiecks: $s = \frac{a+b+c}{2}$

Fläche eines Dreiecks mit Koordinaten

Sind die Eckpunkte eines Dreiecks $\triangle ABC$ als Koordinaten gegeben mit $A = (x 1, y 1)$ , $B = (x 2, y 2)$ , $C = (x 3, y 3)$ , so berechnet sich die Fläche direkt aus den Koordinaten wie folgt:

$F(\triangle ABC) = \frac{1}{2}\left |\begin{matrix} 1&x_1&y_1 \\ 1&x_2&y_2 \\ 1&x_3&y_3 \end{matrix} \right | = \frac{|(x_1y_2-y_1x_2)+(x_2y_3-y_2x_3)+(x_3y_1-y_3x_1)|}{2}$

Hergeleitet wird diese Formel aus der Tatsache, dass sich zwischen den Seiten des Dreiecks und den Projektionen dieser Seiten auf die $x$ -Achse Trapeze befinden, deren Fläche sich mit $A = (a + c) h$ berechnen lässt. Für die Fläche des Dreiecks ergibt sich folglich

$A= \tfrac{1}{2} (y_3+y_1)(x_3-x_1)+ \tfrac{1}{2} (y_2+y_3)(x_2-x_3) - \tfrac{1}{2} (y_2+y_1)(x_2-x_1)$ .

Wenn man nun einige Beispiele rechnet, so bemerkt man schnell, dass die Formel die Position der Punkte beachtet, und es daher beim Vertauschen der Punkte zu negativen Ergebnissen kommen kann. Daher setzt man für den rechten Term Betragsstriche.

$A= \tfrac{1}{2} \left|x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)\right|$

Formeln für spezielle Dreiecke (rechtwinklig, gleichseitig) siehe Dreieck

Flächenberechnung sphärischer Dreiecke

Streng genommen ist kein Dreieck auf der Erdoberfläche eben, da die Erde bekanntlich annähernd Kugelgestalt hat (siehe Erdkrümmung). Bei sehr großen Dreiecken (etwa Kapstadt - Rio de Janeiro - Tokyo) muss man daher auf Methoden der sphärischen Geometrie (bzw. sphär. Trigonometrie) oder der Differentialrechnung zurückgreifen:

Nach dem Satz von Legendre hat ein kleines sphärisches Dreieck nahezu den gleichen Flächeninhalt wie ein ebenes Dreieck mit 3 gleichlangen Seiten. Diese sog. Verebnung wird umso genauer, je kleiner die Dreiecke werden. Daraus folgt eine iterative Methode der Flächenberechnung eines sphärischen Dreiecks: man halbiere wiederholt die geodätischen Linien, die die Begrenzung des Dreiecks bilden, und berechne die sich aus den kleineren Dreiecken ergebenden Flächensummen. Der Grenzwert dieses Vorgangs existiert und ist die Fläche des sphärischen Dreiecks.

Zwei direkte Wege führen freilich rascher ans Ziel: entweder über geeignete Formeln aus der Sphärischen Trigonometrie, oder über den sphärischen Exzess (den Überschuss der Winkelsumme über 180°). Der Exzess ist direkt proportional zur Dreiecksfläche, was auch auf dem Erdellipsoid für die Praxis der Geodäsie genau genug ist. Der Ersatz von Kugeldreiecken durch ihre ebenen Äquivalente wird allerdings schon ab etwa 10 km zu ungenau.

Kategorien: Dreiecksgeometrie | Geodäsie | Trigonometrie

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